Concours Kangourou S-2019 – Moyen (9-16)

Références :

Concours Kangourou Sujet S session 2019

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L’énoncé de la question est écrit en italique.

9-

Une pyramide a 23 faces triangulaires. Combien a-t-elle d’arêtes ?

A) 23B) 24C) 46D) 48E) 69

Une pyramide à base carrée a 4 arêtes à la base et 4 arêtes pour relier les sommets de la base à l’autre sommet qui constitue les faces triangulaires latérales.

On peut raisonner de la même manière pour la pyramide décrite dans l’énoncé. Elle a 23 faces triangulaires, ainsi le polygone de base a 23 sommets et donc 23 arêtes. On a besoin de 23 autres arêtes pour relier les sommets de la base à l’autre sommet qui constitue les faces triangulaires latérales.

Il faut donc en tout 23 \times 2 = 46 arêtes pour constituer la pyramide avec 23 faces triangulaires.

Réponse : C

10-

L’an dernier, il y avait entre 31 et 37 adhérents au club de robotique. Cette année, l’effectif a augmenté de 20% exactement. Combien y-a-t-il d’adhérents cette année ?

A) 33B) 37C) 38D) 42E) 44

On sait qu’il y a entre 31 et 37 adhérents dans le club et que l’effectif avant et après augmentation est un nombre entier. Augmenter une quantité de 20%, c’est multiplier cette quantité par 1 + \dfrac{20}{100} = 1 + 0,2 = 1,2. Or si q est cette quantité, la nouvelle quantité (après augmentation) est :

q\left(1+\dfrac{20}{100}\right) = q\left(1+\dfrac{1}{5}\right) = q + \dfrac{q}{5}.

Ainsi la seule quantité qui convient (c’est-à-dire quantité entière entre 31 et 37 qui après augmentation donne une quantité entière) est 35. On a donc :

35 + \dfrac{35}{5} = 35 + 7 = 42.

Réponse : D

11-

Valentin a inventé une nouvelle opération qu’il note @ définie par x@y = y-x pour tout x et y réels.

Si a, b et c sont tels que (a@b)@c=a@(b@c), quelle phrase est nécessairement vraie ?

A) a=0B) c=0C) a=bD) b=cE) a=c

D’un côté, on a :

(a@b)@c = (b-a)@c = c-(b-a) = c-b+a

et de l’autre, on a :

a@(b@c) = a@(c-b) = (c-b)-a = c-b-a

On a donc égalité :

c-b+a = c-b-a \iff a=-a \iff a = 0.

Réponse : A

12-

On a versé 120 cm3 d’eau dans une boîte parallélépipédique que l’on peut fermer. Suivant la face sur laquelle est posée la boîte, la hauteur d’eau est de 2 cm, 3 cm ou 5 cm, comme le montre le dessin (dimensions non respectées).

Quel est le volume de la boîte ?

A) 160 cm3B) 180 cm3C) 200 cm3D) 220 cm3E) 240 cm3

Notons x, y et z les longueurs de la boite parallélépipédique.

On a :

\begin{cases} 120 = 2 \times x \times y \\ 120 = 3 \times x \times z \\ 120 = 5 \times y \times z \end{cases}

Le volume de la boîte peut s’obtenir en faisant la multiplication \mathcal{V} = xyz. Faisons la multiplication des trois équations :

120^3 = 2 \times 3 \times 5 \times x \times y \times x \times z \times y \times x \iff 1728000 = 30 (xyz)^2 \iff \mathcal{V}^2 = 57600.

Ainsi, le volume de la boîte est donnée par \mathcal{V} = \sqrt{57600} = 240.

Réponse : E

13-

Combien existe-t-il d’entiers strictement positifs n dont le plus grand diviseur (en excluant n lui-même) est n-6 ?

A) 1B) 2C) 3D) 6E) une infinité

Le plus grand diviseur d’un entier naturel n (sauf n) est égal à \frac{n}{2}. Ainsi, pour que n-6 soit le plus grand diviseur de n, il faut que :

\begin{cases}n-6 > 0 \\ n-6 \le \frac{n}{2}\end{cases} \iff \begin{cases} n > 6 \\ 2n-12 \le n \end{cases} \iff \begin{cases} n>6 \\ n\le12\end{cases}

n doit être un entier naturel compris entre 7 et 12. On peut tester les différents cas :

  • n=7, n-6 = 1. 1 est bien un diviseur de 7 (c’est le plus grand car 7 est un nombre premier).
  • n=8, n-6 = 2. 2 est bien un diviseur de 8 mais ce n’est pas le plus grand.
  • n=9, n-6 = 3. 3 est bien un diviseur de 9 (c’est le plus grand)
  • n=10, n-6 = 4. 4 n’est pas un diviseur de 10
  • n=11, n-6 = 5. 5 n’est pas un diviseur de 11
  • n=12, n-6 = 6. 6 est un diviseur de 12 (c’est le plus grand).

Il y a donc 3 entiers n strictement positifs tel que n-6 soit le plus grand diviseur de n.

Réponse : C

14-

Une boîte contient 4 pièces d’argent et 1 pièce d’or. André et Claudie tirent, chacun leur tour, sans remise, une pièce au hasard dans la boîte. André commence. Quelle est la probabilité que Claudie ait la pièce d’or après les cinq tirages ?

A) \frac{2}{5}B) \frac{3}{5}C) \frac{1}{2}D) \frac{5}{8}E) \frac{1}{3}

On peut modéliser cette expérience aléatoire par l’arbre pondéré suivant :

Soit C l’événement Claudie tire la pièce en or. Cela se produit si le deuxième tirage est O ou le quatrième tirage est O.

On calcule :

P(AOAAA) = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{5}

P(AAAOA) = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{5}

Ainsi la probabilité que Claudie gagne est :

P(C) = P(AOAAA) + P(AAAOA) = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}.

Réponse : A

15-

Combien de nombres entiers compris entre 2^{10} et 2^{13} (2^{10} et 2^{13} inclus) sont divisibles par 2^{10} ?

A) 2B) 4C) 6D) 8E) 16

Tous les nombres divisibles par 2^{10} sont de la forme k \times 2^{10}. Or, on veut savoir combien il y a de nombres entiers divisibles par 2^{10} compris entre 2^{10} et 2^{13} (2^{10} et 2^{13} inclus). Comme 2^{13} = 2^{10} \times 2^3 = 8 \times 2^{10}, il y a donc 8 nombres entiers qui répondent à ce criètre :

2^{10} ; 2 \times 2^{10} ; 3 \times 2^{10} ; 4 \times 2^{10} ; 5 \times 2^{10} ; 6 \times 2^{10} ; 7 \times 2^{10} ; 8 \times 2^{10} = 2^{13}

Réponse : D

16-

Deux carrés adjacents (voir figure) ont pour côtés p et q (p < q).

Quelle est l’aire du triangle grisé ?

A) \sqrt{pq}B) \frac{1}{2}p^2C) \frac{1}{2}q^2
D) \frac{1}{4}(p^2+q^2)E) $latex $\frac{1}{2}(p^2+q^2)$

On a refait une figure sur GeoGebra en précisant quelques mesures :

L’aire du triangle grisée est égale à la somme des aires des deux carrés moins la somme des aires des triangles blancs.

Notons :

  • \mathcal{A}_1 l’aire du triangle blanc en haut à gauche du petit carré.
  • \mathcal{A}_2 l’aire du triangle blanc en haut à gauche du grand carré.
  • \mathcal{A}_3 l’aire du triangle blanc en basà droite bordant les deux carrés.

On a :

\mathcal{A}_1 = \dfrac{p \times p}{2} = \dfrac{p^2}{2}

\mathcal{A}_2 = \dfrac{(q-p)\times q}{2} = \dfrac{q^2-pq}{2}

\mathcal{A_3} = \dfrac{(p+q)\times q}{2} = \dfrac{pq+q^2}{2}

On a alors :

\mathcal{A}_G = (p^2 + q^2) - \left(\dfrac{p^2}{2} +  \dfrac{q^2-pq}{2} + \dfrac{pq+q^2}{2}\right)

\mathcal{A}_G = (p^2 + q^2) - \left(\dfrac{p^2 +  q^2 - pq + pq + q^2}{2})\right)

\mathcal{A}_G = p^2 - \dfrac{p^2}{2} + q^2 - q^2 = \dfrac{p^2}{2}.

Réponse : B