Dossier CAPES Maths 2019-3C05 – Arithmétique

Enoncé :

On dispose de billets de 5€ et de billets de 20€.

De combien de façons peut-on obtenir la somme de 165€ ?

Solution :

Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 5x+20y = 165 d’inconnues x et y (entiers naturels).

On peut diviser par 5 chaque membre de l’équation sans changer la nature des solutions (car \mathrm{PGCD}(5,20) = 5 et 165 est un multiple de 5), on obtient alors :

5x+20y = 165 \iff x + 4y = 33.

On donne la solution particulière de x + 4y = 1 :

4 = 3 + 1 \iff 1 = 4 - 3

Ainsi la solution particulière de x + 4y = 1 est le couple (-3;1). On en déduit alors la solution particulière de x + 4y = 33 qui est le couple (-99;33).

Pour déterminer la solution générale de l’équation diophantienne x + 4y = 33, on peut combiner les deux égalités : x+4y = 33 et -99 + 4 \times 33 = 33. On obtient ainsi (en faisant la différence des deux) :

(x+99) + 4(y-33) = 0 \iff (x+99) = - 4(y-33)

Ici -4 divise x+99 donc il existe k entier relatif tel que x+99 = -4k \iff x = -4k-99. Avec un même raisonnement, on peut conclure que y = k + 33.

Mais il faut que les entiers x et y soient positifs, donc il faut ajouter une nouvelle condition :

\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0\end{cases} \iff \begin{cases} -4k-99 \ge 0 \\ k+33 \ge 0\end{cases} \iff \begin{cases} -4k \ge 99 \\ k \ge -33\end{cases} \iff \begin{cases} k \le -\dfrac{99}{4} \\ k \ge -33\end{cases}

Ainsi, on trouve un encadrement qui convient pour répondre à la question de l’énoncé :

-33 \le k \le -25

On peut lister ainsi les 9 façons d’obtenir la somme de 165€ avec des billets de 5€ et des billets de 20€.

kxy5x+20y
-33330165
-32291165
-31252165
-30213165
-29174165
-28135165
-2796165
-2657165
-2518165

Dossier CAPES Maths 2019-3C04 – Problèmes conduisant à la résolution d’équation

Enoncé :

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = (x-1)e^{1-x} et \mathcal{C} sa courbe représentative dans ce repère. La courbe \mathcal{C} admet-elle des tangentes passant par l’origine O du repère ?

Solution :

On établit l’équation cartésienne de la tangente à \mathcal{C} au point d’abscisse x=a (où a est un nombre réel), que l’on notera \mathcal{T}_a.

\mathcal{T}_a : y = f'(a)(x-a) + f(a)

Calculons f(a), puis f' la dérivée de la fonction f :

  • f(a) = (a-1)e^{1-a}
  • f'(x) = e^{1-x} - (x-1)e^{1-x} (ici, on utilise la formule de dérivation pour un produit de deux fonctions u(x) = x-1 et v(x) = e^{1-x}).
    f'(x) = (2-x)e^{1-x}
  • Ainsi, f'(a) = (2-a)e^{1-a}.

On peut remplacement maintenant les valeurs manquantes dans l’équation cartésienne :

y = (2-a)e^{1-a} (x-a) + (a-1)e^{1-a} \iff y = e^{1-a}[(2-a)(x-a)+(a-1)]

Pour répondre à la question posée par le sujet du jury, il faut déterminer les valeurs de a telles que la tangente \mathcal{T}_a à \mathcal{C} au pont d’abscisse x=a passe par l’origine du repère. Autrement dit, il faut déterminer les valeurs de a telles que (0,0) \in \mathcal{T}_a. On remplace alors x par 0 et y par 0 et on résout l’équation d’inconnue a.

e^{1-a}[(2-a)(-a)+(a-1)] = 0

On remarque une équation produit nul. Or comme e^{1-a} > 0, la résolution de l’équation précédente est équivalente à la résolution de l’équation suivante :

(2-a)(-a) + (a-1) = 0 \iff -2a + a^2 + a - 1 = 0 \iff a^2 - a - 1 = 0

On calcule le discriminant :

\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 1 + 4 = 5 > 0.

Il y a donc deux solutions à l’équation a^2 - a - 1 = 0. On a : \sqrt{\Delta} = \sqrt{5} et :

a_1 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} et a_2 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} sont les deux solutions de l’équation a^2 - a - 1 = 0.

Vérification graphique sur GeoGebra :

Dossier CAPES Maths 2019-3C03 – Géométrie plane

Enoncé :

ABCDEF est un hexagone régulier d’aire 230 cm2. Les points G, H, I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], …, et [FA]. Déterminer l’aire du polygone GHIJKL.

Solution :

Le polygone GHIJKL est un hexagone. Montrons qu’il est régulier comme ABCDEF.

ABCDEF est un hexagone régulier donc AB = BC = CD = DE = EF = FA et \widehat{FAB} = \widehat{ABC} = \widehat{BCD} = ... = 120^\circ. De plus, G, H, I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], …, et [FA] donc AG = GB = BH = ... = LA. Ainsi, les triangles LAG, GBH, HCI, …, KFL sont semblables donc LG = GH = ... = FL.

Conclusion : GHIJKL est un hexagone régulier et il a le même centre que l’hexagone régulier ABCDEF (que l’on notera O) car les droites (GJ), (HK) et (IL) sont des axes de symétries de l’hexagone régulier ABCDEF. Ainsi, GHIJKL est une réduction de ABCDEF.

Faisons une figure sur GeoGebra.

On veut calculer le coefficient de réduction pour passer de l’hexagone ABCDEF à l’hexagone GHIJKL. Pour cela, on considère le triangle OGB. C’est un triangle rectangle en G car (GJ) est un axe de symétrie de l’hexagone ABCDEFG (en particulier (GJ) est la médiatrice du segment [AB]. Ainsi, pour calculer le coefficient de réduction pour passer de l’hexagone ABCDEF à l’hexagone GHIJKL, on peut calculer le rapport \dfrac{OG}{OB} en utilisant notamment la trigonométrie (triangle rectangle).

\dfrac{OG}{OB} = \cos(60^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Ainsi le coefficient de réduction pour passer de l’hexagone ABCDEF à l’hexagone GHIJKL est k = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Maintenant, on sait l’aire de l’hexagone ABCDEF et on veut calculer l’aire de l’hexagone GHIJKL. On utilise la propriété suivante : une réduction de rapport k multiplie les aires d’un coefficient égal à k^2. Ainsi :

\mathcal{A}_{GHIJKL} = \mathcal{A}_{ABCDEF} \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 230 \times \dfrac{3}{4} = 172,5 cm2.

Conclusion : l’aire de l’hexagone GHIJKL est de 172,5 cm2.

Références :

Dossier CAPES Maths 2019-3C02 – Conjecture et démonstration

Enoncé :

Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 5 et u_{n+1} = u_n + 4n - 6 pour tout entier naturel n.

Conjecturer une expression de u_n en fonction de n et démontrer cette conjecture.

Solution :

Conjecture : Calculons les premiers termes de la suite (u_n) :

u_0 = 5

u_1= u_0 + 4 \times 0 - 6 = 5 - 6 = -1

u_2 = u_1 + 4 \times 1 - 6 =  -1 + 4 - 6 = -3

u_3 = u_2 + 4 \times 2 - 6 = -3 + 8 - 6 = -1

u_4 = u_3 + 4 \times 3 - 6 = -1 + 12 - 6 = 5

Traçons la représentation graphique de la suite (u_n) (constituée des points de coordonnées $lates (n,u_n)$).

On peut remarquer que le diagramme obtenu est une parabole dont le sommet est située au point de coordonnées (2;-3). Ainsi, si on écrit u_n = f(n), on obtient : f(n) = a(n-2)^2-3. On peut trouver le coefficient a en prenant n=0.

f(0) = 5 \iff a(-2)^2 - 3 = 5 \iff 4a = 8 \iff a = 2.

Ainsi, on peut conjecturer que u_n = 2(n-2)^2 - 3.

Démonstration : pour démontrer cette conjecture, on peut s’inspirer de ce qu’a fait l’élève 2 (voir sujet en références) . On pose la suite (v_n) tel pour tout n entier naturel, on a :

v_n = u_{n+1} - u_n = u_n + 4n - 6 - u_n = 4n-6.

La suite (v_n) est une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme v_0 = u_1 - u_0 = 5 - 6 - 5 = -6.

Or, on remarque que (v_n) est une suite télescopique, c’est-à-dire :

\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} v_k = u_n - u_{n-1} + u_{n+1} - u_{n+2} + ... + u_1 - u_0 = u_n - u_0.

Comme (v_n) est une suite arithmétique, on peut facilement calculer la somme de ses termes :

\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} v_k = \sum_{k=0}^{n-1} 4k-6 =  4\sum_{k=0}^{n-1} k - 6n

Or la somme des n-1 premiers entiers est donnée par la formule : \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} k = \dfrac{n(n-1)}{2}

\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} v_k = u_n - u_0 = 4\frac{n(n-1)}{2} - 6n = 2n^2 - 2n - 6n

u_n - 5 = 2n^2 - 8n \iff u_n = 2n^2 - 8n + 5.

Or, d’après la conjecture : 2(n-2)^2 - 3 = 2(n^2 - 4n + 4) - 3 = 2n^2 - 8n + 8 - 3 = 2n^2 - 8n + 5 = u_n.

Conclusion : l’expression de u_n en fonction de n est donnée par la formule :

u_n = 2n^2 - 8n + 5 = 2(n-2)^2 - 3.

Références :

Dossier CAPES Maths 2019-3C01 – Probabilités

Enoncé :

A Florence au début du XVIIe siècle, un jeu consistait à jeter trois dés et à miser sur le résultat de la somme des trois dés. Durant sa jeunesse Cosme II de Médicis, grand-duc de Toscane, a observé de nombreuses parties : il a remarqué qu’il était préférable de miser sur le nombre 10.

Un de ses fidèles disciples lui affirma : « Maître excusez-moi de vous contredire mais le 9 apparaît plus souvent que la 10 ». Lequel des deux a raison ?

Solution :

La somme des faces obtenues après un lancer de deux dés peut être modélisée par un tableau à double entrée :

123456
1234567
2345678
3456789
45678910
567891011
6789101112

On voit qu’on peut obtenir une somme de 2, 1 fois ; de 3, 2 fois ; de 4, 3 fois…

On peut faire la somme des trois dés en faisant la somme de deux dés puis la somme du dernier. Ainsi on peut utiliser le tableau précédent pour modéliser la somme des faces obtenues après un lancer de trois dés. La modélisation se fait dans le tableau suivant (en colonne, on a mis entre parenthèses le nombre de possibilités d’obtenir la somme de faces sur deux dés :

123456
2 (1)345678
3 (2)456789
4 (3)5678910
5 (4)67891011
6 (5)789101112
7 (6)8910111213
8 (5)91011121314
9 (4)101112131415
10 (3)111213141516
11 (2)121314151617
12 (1)131415161718

Pour calculer la probabilité d’obtenir 9 en faisant la somme des trois dés, on regarde où est-ce qu’il apparait dans le tableau et on additionne le nombre de possibilités qui se trouve en première colonne puis on fait additionne le tout et on divise par le nombre de possibilités totales, c’est-à-dire 6^3 = 216.

P(9) = \dfrac{5+6+5+4+3+2}{6^3} = \dfrac{25}{216}.

On fait la même chose pour la probabilité d’obtenir 10 en faisant la somme des trois dés.

P(10) = \dfrac{4+5+6+5+4+3}{6^3} = \dfrac{27}{216}.

Conclusion : Cosme II de Médicis avait raison : le 10 apparaît plus souvent que le 9.

Références :

Dossier CAPES Maths 2019-20 – Raisonnement

Enoncé :

A tout réel m, on associe la droite \mathcal{D}_m d’équation :

(2m-1)x+(5-m)y - 4m - 7 = 0.

  1. Montrer qu’il existe un point K appartenant à toutes les droites \mathcal{D}_m.
  2. (a) Déterminer m pour que \mathcal{D}_m passe par le point A(1;1).
    (b) Si l’on se donne un point P du plan, existe-t-il toujours un nombre réel m tel que \mathcal{D}_m passe par le point P ?

Solution :

Question 1 :

On veut montrer l’existence d’un point K (donc déterminer ses coordonnées) appartenant à toutes les droites \mathcal{D}_m. Pour cela, on prend deux valeurs particulières de m et on cherche les valeurs x et y qui vérifient un système d’équation.

Prenons, pour nous faciliter la tâche, 2m - 1 = 0 \iff 2m = 1 \iff m = \frac{1}{2}, on aurait ainsi :

(5 - \frac{1}{2})  y- 4 \times \frac{1}{2} - 7 = 0 \iff  \frac{9}{2} y - 9 = 0

Si on prend 5-m = 0 \iff 5 = m, on obtient l’équation de \mathcal{D}_5 :

(2\times 5 - 1) x - 4 \times 5 - 7 = 0 \iff 9x - 27 = 0.

Les coordonnées du point K vérifient le système d’équation suivant :

\begin{cases} \frac{9}{2}y - 9 = 0 \\ 9x - 27 = 0\end{cases} \iff  \begin{cases} 9y - 18 = 0 \\ 9x - 27 = 0\end{cases} \iff \begin{cases} 9y = 18 \\ 9x = 27 \end{cases} \iff \begin{cases} y = 2 \\ x = 3\end{cases}

Ainsi, il existe bien un point K (de coordonnées (3;2)) qui appartient à toutes les droites \mathcal{D}_m.

Question 2(a) :

La donnée de la question est que le point A de coordonnées (1;1) appartient à la droite \mathcal{D}_m. On remplace les valeurs x et y dans l’équation cartésienne de la droite \mathcal{D}_m et on résout cette équation pour trouver la valeur de m correspondante :

2m-1 + 5-m - 4m - 7 = 0 \iff -3m + 3 = 0 \iff -3m = -3 \iff m=1.

Ainsi, pour m=1, la droite $\mathcal{D}_1$ passe par le point A de coordonnées (1;1).

Question 2(b) :

Supposons que P (de coordonnées (x;y)) appartiennent à la droite \mathcal{D}_m alors les coordonnées vérifient l’équation cartésienne de la droite \mathcal{D}_m. On a ainsi :

(2m-1)x+(5-m)y - 4m - 7 = 0

Développons l’expression et séparons les termes en m et les termes « constants » :

2mx-x + 5y - my - 4m - 7 = 0  \iff m(2x-y-4) = x-5y+7 \iff m = \dfrac{x-5y+7}{2x-y-4}.

La valeur de m existe si et seulement si 2x-y-4 \neq 0. Ce qui n’est pas toujours le cas.

Si 2x-y-4 = 0 alors y = 2x-4. Ainsi tous les points dont les coordonnées sont de la forme (x;2x-4) n’appartiennent pas à la famille de droites $\mathcal{D}_m$.

Références :

Dossier CAPES Maths 2019-19 – Problème conduisant à l’étude de fonctions

Enoncé :

La figure ci-contre représente une portion d’un disque de centre A et de rayon 1. On fait varier la mesure en radian de l’angle \widehat{BAC} dans l’intervalle ]0,\pi].

Déterminer un encadrement d’amplitude 10^{-3} d’une mesure de l’angle \widehat{BAC} pour laquelle il y a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée.

Solution :

On fait d’abord une première visualisation sur GeoGebra. Nous allons nous placer dans le repère (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AI})I est situé sur le cercle de centre A et de rayon 1 et la droite (AI) perpendiculaire à la droite (AB). Ainsi, l’arc de cercle \overset{\frown}{BC} est une partie du cercle trigonométrique.

La configuration ci-dessous donne approximativement la position du point C sur la partie supérieure du cercle trigonométrique (c’est-à-dire dans l’intervalle ]0,\pi]) telle que l’aire du triangle ABC est égale à l’aire du secteur angulaire entre B et C privé du triangle ABC. On remarque que la valeur de l’angle est à peu près égal à 1,89 rad ou 108 degrés.

Passons à un raisonnement classique. On pose x = \widehat{BAC}. L’aire du triangle ABC se calcule par la formule suivante (si on considère H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB)) :

\mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{AB \times CH}{2} = \dfrac{\sin(x)}{2}.

De plus, l’aire du secteur angulaire entre les points B et C est proportionnelle à l’angle \widehat{BAC}. Ainsi :

\mathcal{\tilde{A}} = \dfrac{x \pi}{2\pi} = \dfrac{x}{2}.

Ainsi si on note \mathcal{A}_2 l’aire du secteur angulaire entre B et C privé du triangle ABC :

\mathcal{A}_2 = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin(x)}{2}.

Il faut donc résoudre l’équation d’inconnue x suivante :

\mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_2 \iff \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin(x)}{2} = \dfrac{\sin(x)}{2} \iff \sin(x) - \dfrac{x}{2} = 0.

On ne peut pas résoudre analytiquement cette équation donc on utilise le « théorème de la bijection ». On pose la fonction f définie sur l’intervalle ]0,\pi] par f(x) = \sin(x) - \frac{x}{2}.

La dérivée se calcule de la manière suivante :

f'(x) = \cos(x) - \dfrac{1}{2}.

Elle est strictement positive sur l’intervalle ]0,\frac{\pi}{3}] (donc la fonction f est croissante sur cet intervalle) et strictement négative sur l’intervalle [\frac{\pi}{3},\pi] (donc la fonction f est décroissante sur cet intervalle).

On peut exclure l’étude de l’équation sur l’intervalle I_1 = ]0,\frac{\pi}{3}] car f(0) = 0 et 0 n’appartient pas à l’intervalle I_1. Etudions l’équation sur l’intervalle I_2 = [\frac{\pi}{3},\pi].

La fonction est continue et strictement décroissante sur l’intervalle I_2. On a :

f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \approx 0,34 > 0
f(\pi) = \sin(\pi) - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} = -1,57 < 0.

D’après le théorème de la bijection, il existe un unique nombre \alpha appartenant à l’intervalle [\frac{\pi}{3},\pi] qui est solution de l’équation f(\alpha) = 0. On peut donner un encadrement de \alpha grâce à la calculatrice.

Ainsi, d’après la calculatrice, un encadrement d’amplitude 10^{-3} d’une mesure de l’angle x = \widehat{BAC} pour laquelle il y a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée est

1,985 \le x \le 1,986